Newton法による近似解の求め方

Newton法は x の方程式 g(x)=0 の解を近似的に得られる計算法。

既知の推定値 x=a から未知の推定値 x=b の求め方を考えてみる。

下の図で、青い曲線は y=g(x) 、オレンジの直線は y=g(x) の x=a での接線、この接線とx軸との交点が x=b である。

g(x) の一階微分を g'(x) と表すと、接線の傾きは g'(a) と表せる。

これを a,b で表すと、 g'(a)=g(a)/(a-b) であるから、 b=a-g(a)/g'(a) と表せる。

推定値 a が x の k 番目の推定値とすると、推定値 b は k+1 番目の推定値となるから、次の関係式が成り立つ。

 xk+1=xk-g(xk)/g'(xk)

この漸化式の繰り返しによって方程式の解を近似的に求めることができる。

さらに、繰り返すことによって精度が上がる。